ความหมายของฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใดๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน

นั่นคือ       ถ้า (x1,y1) ∈ r และ (x1,y2) ∈ r แล้ว y1= y2

หลักในการพิจารณาว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่

1. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปแจกแจงสมาชิก ให้ดูว่าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกันหรือไม่ ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกัน แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

2. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปของการกำหนดเงื่อนไขสมาชิก           r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ให้แทนค่าแต่ละสมาชิกของ x ลงในเงื่อนไข P(x,y) เพื่อหาค่า y ถ้ามี x ตัวใดที่ให้ค่า yมากกว่า 1 ค่า แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

3. พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน y ถ้าเส้นตรงดังกล่าวตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

                                                                               ฟังก์ชันจาก A ไป  B

• ฟังก์ชันจาก A ไป B
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต A และเรนจ์เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย f : A → B
• ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต A และเรนจ์เป็นของเซต B เขียนแทนด้วย f : A B
• ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B
f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซึ่งถ้า y ∈ R f แล้วมี x ∈ Df เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ (x,y) ∈ f เขียนแทนด้วย f : B          หรืออาจกล่าวอย่างง่ายๆได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อสำหรับ x1และ x2 ในโดเมน ถ้า  f( x1) = f( x2) แล้ว x1 = x2
• ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด
	ให้ f เป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R× R และ A ⊂ Df
	♦ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A
	ถ้า x1 < x2 แล้ว f( x1) < f( x2)
	♦ f เป็นฟังก์ชันลดใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1 และ x2 ใดๆ ใน A
	ถ้า x1 < x2 แล้ว f( x1) > f( x2)

                                                                                  ฟังก์ชันที่ควรรู้จัก

• ฟังก์ชันเชิงเส้น (linear function)
กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง
a < 0 a = 0 a > 0
• ฟังก์ชันขั้นบันได (step function)
กราฟของฟังก์ชันนี้จะมีรูปร่างคล้ายขั้นบันได
• ฟังก์ชันกำลังสอง (quadratic function)
กราฟของฟังก์ชันกำลังสองจะมีลักษณะเป็นรูปพาราโบลา
• ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial function)
• ฟังก์ชันตรรกยะ (rational function)
• ฟังก์ชันที่เป็นคาบ (periodic function)
f เป็นฟังก์ชันที่เป็นคาบ ก็ต่อเมื่อ มีำจำนวนจริง p ที่ทำให้ f(x+p) = f(x) สำหรับ ทุกค่าของ x และ x+p ที่อยู่ในโดเมนของ f

ฟังก์ชันอินเวอร์ส  เนื่องจากฟังก์ชัน คือ รูปแบบหนึ่งของความสัมพันธ์ ดังนั้น การหาอินเวอร์สของฟังก์ชันจึงหาได้ เช่นเดียวกับการหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ เพียงแต่อินเวอร์สของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันเสมอไป
	ตัวอย่างเช่น	กำหนด	f = {(1,2) ,(2,3) ,(3,4)}
		∴	f-1 = {(2,1) ,(3,2) ,(4,3)} เป็นฟังก์ชัน
		กำหนด	g= {(1,2) ,(2,3) ,(4,2)}
		∴	g-1 = {(2,1) ,(3,2) ,(2,4)} ไม่ เป็นฟังก์ชัน
เรียกอินเวอร์สของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันว่า "ฟังก์ชันอินเวอร์ส" จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่า ฟังก์ชันที่จะมีฟังก์ชันอินเวอร์สได้ จะต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
	สมบัติของฟังก์ชันอินเวอร์ส
	กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน 1. f - 1 เป็นฟังก์ชัน เมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1-1 2. Df = R f - 1 และ Rf = Df - 1

                                                                       ฟังก์ชันคอมโพสิท  (Composite  Function)

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และ R f ∩ Dg≠ Ø ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g เขียนแทนด้วยgof กำหนดโดย (gof)(x) = g(f(x)) สำหรับทุก x ซึ่ง f(x) ∈ Dg

ตัวอย่างที่1 ให้ f: A → B และ g : B → C ดังแสดงในแผนภาพ
		f = {(1,5), (2,4), (3,6)} และ
		g = {(4,7), (5,7), (6,8)}
	(gof)(1)	= g(f(1))	= g(5)	= 7
	(gof)(2)	= g(f(2))	= g(4)	= 7
	(gof)(3)	= g(f(3))	= g(6)	= 8
	∴ gof	= {(1,7), (2,7), (3,8)} และ Dgof = A
ข้อสังเกต	จากตัวอย่างที่ 1 จะเห็นว่าไม่มี fog เพราะ R f ∩ Dg=Ø

                                           พีชคณิตของฟังก์ชัน  (Agebra of Function)

กำหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชันในเซตของจำนวนจริง f + g = { (x, y) | y = f(x) + g(x) และ x ∈ D f ∩ Dg } f - g = { (x, y) | y = f(x) - g(x) และ x ∈ D f ∩ Dg } f · g = { (x, y) | y = f(x) · g(x) และ x ∈ D f ∩ Dg } = { (x, y) | y = และ x ∈ D f ∩ Dg และ g(x) ≠ 0 }

จากบทนิยามจะได้	f + g (x)		= f(x) + g(x) ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg
	f - g (x)		= f(x) - g(x) ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg
	f · g (x)		= f(x) · g(x) ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg
		(x)	=		ซึ่ง x ∈ D f ∩ Dg และ g(x) ≠ 0